Теоретические задачи

Задачи 6-10
Задача 6. Атомные и молекулярные орбитали
Задача 7. Деление ядер
Задача 8. Радиоактивный распад
Задача 9. Окислительно-восстановительные реакции
Задача 10. Растворимость труднорастворимых солей

Задача 6. Атомные и молекулярные орбитали

Орбитали - это одноэлектронные волновые функции, описывающие движение электронов в атоме (атомные орбитали), молекуле (молекулярные орбитали) или твердом теле. Каждая орбиталь описывает распределение вероятности нахождения электрона в разных областях пространства.

а. 1s-орбиталь атома водорода имеет вид: ,
где a - боровский радиус (a₀ = 5.3 10^-11 м), r - радиальная координата (расстояние от точки в пространстве до центра координат).
1. Нормируйте данную волновую функцию.
2. Какое расстояние электрона от ядра наиболее вероятно?
б. Волновые функции 2s, 2p_z и состояний имеют вид:

Нарисуйте узловые поверхности этих орбиталей.
в. Оказывается, решение уравнения Шредингера для одноэлектронного атома в точности приводит к "старой доброй" формуле Бора для квантованной энергии:
, где для удобства постоянная величина дана с размерностью (эВ).

Возникает соблазн применить эту формулу к нейтральному атому гелия, однако это надо делать с осторожностью. В атоме гелия каждый электрон "чувствует" заряд ядра, экранированный другим электроном. Это означает, что эффективный заряд ядра, действующий на каждый электрон (обозначим этот заряд Z_эфф), меньше, чем истинный заряд Z = 2. Экспериментальная энергия ионизации атома гелия в основном состоянии равна 24.46 эВ. Оцените Z_эфф.

Молекулярные орбитали молекулярного иона водорода (H₂⁺) можно приближенно представить как линейную комбинацию атомных орбиталей, центрированных на каждом из ядер молекулы. Рассмотрим (ненормированные) молекулярные орбитали, построенные из 1s и 2s-орбиталей двух атомов водорода, например A и B:

Если расположить ось z вдоль линии, соединяющей ядра, то орбитальные контуры и имеют следующий вид:

Аналогичные орбитальные контуры (т.е., кривые, на которых y имеет постоянное значение) могут быть изображены для и .

Зависимость энергии этих волновых функций от межъядерного расстояния приведена на рисунке:

При ответе на следующие вопросы можно допустить, что зависимость энергии от межъядерного расстояния в молекулах H₂ и He₂ такая же, как и в H₂⁺.

Задача 7. Деление ядер

а. Рассмотрим следующие реакции деления ²³⁵U под действием медленных нейтронов:

Вставьте пропущенные частицы и числа.
б. Рассмотрим первую из указанных реакций. Неустойчивые продукты деления подвергаются серии -распадов, давая Zr и Ce. Напишите суммарную ядерную реакцию и рассчитайте выделившуюся энергию (в МэВ). Используйте следующие значения атомных масс:

m(²³⁵U) = 235.0493 а.е.м.

m(⁹⁴Zr) = 93.9063 а.е.м.

m(¹⁴⁰Ce) = 139.9054 а.е.м.

m(n) = 1.00866 а.е.м.

1 а.е.м. = 931.5 МэВ / c²

в. Один килограмм природного урана поместили в исследовательский ядерный реактор. Когда количество выделившейся энергии достигло 1 МВт сут (МВс), образец вынули из реактора. Чему равно содержание ²³⁵U в полученном образце, если в природном уране оно равно 0.72%? Результат, полученный в п. б, можно рассматривать как среднюю энергию на один акт деления. Считайте, что вся энергия выделяется только при делении ²³⁵U.

Радиоактивный изотоп ²¹⁰Bi, который является продуктом распада ²¹⁰Pb, в результате -распада превращается в радиоактивный изотоп ²¹⁰Po, который испускает -частицы и превращается в стабильный ²⁰⁶Pb.

Образец радиохимически чистого ²¹⁰Bi был выделен из ²¹⁰Pb и оставлен для накопления ²¹⁰Po. Радиоактивность свежеочищенного ²¹⁰Bi составила 100 мкКюри. (1 Кюри = 3.7 10¹⁰ распадов в секунду.)
а. Чему равна исходная масса образца ²¹⁰Bi?
б. Рассчитайте время, через которое количество ²¹⁰Po в образце достигнет максимального значения. Чему равно это значение?
в. Определите скорость -распада ²¹⁰Po и -распада ²¹⁰Bi в это время.

Задача 9. Окислительно-восстановительные реакции
а. Раствор, содержащий ионы Sn²⁺, титруют потенциометрически с Fe³⁺. Стандартные электродные потенциалы для пар Sn^4+/2+ и Fe^3+/2+ равны:

Sn⁴⁺ + 2e = Sn²⁺, E⁰ = 0.154 В

Fe³⁺ + e = Fe²⁺, E⁰ = 0.771 В
1. Напишите суммарную окислительно-восстановительную реакцию и рассчитайте стандартное изменение энергии Гиббса в реакции.
2. Определите константу равновесия реакции.
б. 20 мл 0.10 М раствора Sn²⁺ титруют 0.20 М раствором Fe³⁺; рассчитайте напряжение в цепи:
1. при добавлении 5 мл раствора Fe³⁺;
2. в точке эквивалентности;
3. при добавлении 30 мл раствора Fe³⁺.
В качестве стандартного электрода при титровании используется насыщенный каломельный электрод (E⁰ = 0.242 В).
в. Один из важных аналитических методов определения Cu²⁺ - иодометрическое титрование. В этой реакции Cu²⁺ восстанавливают ионом I^- до Cu⁺, а выделяющийся I₂ титруют стандартным раствором Na₂S₂O₃. Окислительно-восстановительная реакция имеет вид:

2Cu²⁺ + 4I^- 2CuI_(тв) + I_2(р-р)

Стандартные электродные потенциалы для соответствующих полуреакций равны:

Cu²⁺ + e = Cu⁺, E⁰ = 0.153 В

I₂ + 2e = 2I^-, E⁰ = 0.535 В

Анализ электродных потенциалов показывает, что восстановление Cu²⁺ ионом I^- не может протекать самопроизвольно. Однако, при иодометрическом титровании эта реакции идет. Разберемся, почему.
1. CuI плохо растворим в воде, ПР 1.1 10^-12. Рассчитайте эффективное значение потенциала E при равновесии CuI_(тв) = Cu⁺ + I^-.
2. Используя результат, полученный в п. 1, рассчитайте значение эдс для реакции восстановления Cu²⁺ ионом I^-. Какой вывод о самопроизвольности реакции можно сделать?
3.Рассчитайте константу равновесия для реакции из п. 2.

На растворимость труднорастворимых солей влияют два важных вактора: pH и присутствие комплексообразователя. Одна из таких солей - оксалат серебра (растворимость в воде - 2.06 10^-4 при pH = 7.0). На его растворимость сильно влияет pH, т.к. оксалат-ион реагирует с ионами гидроксония, а также комплексообразователи, такие как аммиак, поскольку ион серебра образует с ними комплексы.